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已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点P是x轴上方椭圆E上的一点,且PF1⊥F...

已知椭圆manfen5.com 满分网的左、右焦点分别为F1,F2,点P是x轴上方椭圆E上的一点,且PF1⊥F1F2manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网
(Ⅰ) 求椭圆E的方程和P点的坐标;
(Ⅱ)判断以PF2为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系;
(Ⅲ)若点G是椭圆C:manfen5.com 满分网上的任意一点,F是椭圆C的一个焦点,探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系.
(Ⅰ)由P在椭圆E上,知a=2.由PF1⊥F1F2,知.由此能求出椭圆E的方程和P点的坐标. (Ⅱ)线段PF2的中点,以为圆心PF2为直径的圆M的方程为.以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为:x2+y2=4,由此可知两圆相内切. (Ⅲ)以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切.设F'是椭圆C的另一个焦点,其长轴长为2m(m>0),点G是椭圆C上的任意一点,F是椭圆C的一个焦点,有|GF|+|GF'|=2m,由此能够导出两圆内切. 【解析】 (Ⅰ)∵P在椭圆E上∴2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,….(1分) ∵PF1⊥F1F2,∴,….(2分) 2c=2,c=1,∴b2=3. 所以椭圆E的方程是:….(4分) ∵F1(-1,0),F2(1,0),∵PF1⊥F1F2∴….(5分) (Ⅱ)线段PF2的中点 ∴以为圆心PF2为直径的圆M的方程为 圆M的半径….(8分) 以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为:x2+y2=4,圆心为O(0,0),半径为R=2 圆M与圆O的圆心距为所以两圆相内切  …(10分) (Ⅲ)以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆相内切           …(11分) 设F'是椭圆C的另一个焦点,其长轴长为2m(m>0), ∵点G是椭圆C上的任意一点,F是椭圆C的一个焦点, 则有|GF|+|GF'|=2m,则以GF为直径的圆的圆心是M,圆M的半径为, 以椭圆C的长轴为直径的圆O的半径R=m, 两圆圆心O、M分别是FF'和FG的中点, ∴两圆心间的距离,所以两圆内切.….(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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