Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2点M，N分别在棱PD，PC上，且，PM=MD．
（1）求证：PC⊥平面AMN
（2）求二面角B-AN-M的大小．

Answer

（1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出向量，，，然后计算•与•，证得⊥，⊥，而AM∩AN=A，根据线面垂直的判定定理可得结论；
（2）由（1）可知是平面AMN的一个法向量，然后求出平面BAN的一个法向量为=（x，y，z），设二面角B-AN-M的大小为θ，则cosθ=，最后利用反三角函数表示即可．
【解析】
（1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），∵，∴N（，，）
=（-2，-2，2），=（，，），=（1，0，1）
∴•=（-2）×+（-2）×+2×=0
•=（-2）×1+0+2×1=0
∴⊥，⊥
而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）由（1）可知是平面AMN的一个法向量
设平面BAN的一个法向量为=（x，y，z）
=（0，2，0），=（，，）
∴即
令x=2，则y=0，z=-1
∴=（2，0，-1）
设二面角B-AN-M的大小为θ，则cosθ===-
∴二面角B-AN-M的大小为π-arccos