Question

已知数列{a_n}满足：a₁=，a₂=，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n．
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列．

Answer

（1）2an=an+1+an-1，根据等差数列的定义可知∴{an}是等差数列．根据a1和a2，求得公差，则数列{an}的通项an可得．
（2）把an和bn代入bn+1-an+1进而化简整理bn+1-an+1=（bn-an），进而可判断∴{bn-an}是以b1-为首项，以为公比的等比数列．
【解析】
（1）证明∵2an=an+1+an-1（n≥2，n∈N*），
∴an+1-an=an-an-1
∴{an}是等差数列．
又∵a1=，a2=，∴an=+（n-1）•=，
（2）证明：∵bn=bn-1+（n≥2，n∈N*），
∴bn+1-an+1=bn+-=bn-
=（bn-）=（bn-an）．
又∵b1-a1=b1-≠0，
∴{bn-an}是以b1-为首项，以为公比的等比数列．