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已知点D在定线段MN上,且|MN|=3,|DN|=1,一个动圆C过点D且与MN相...

已知点D在定线段MN上,且|MN|=3,|DN|=1,一个动圆C过点D且与MN相切,分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P.
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系,求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B,若(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网)•(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网)=0,且λ∈[2-manfen5.com 满分网,2+manfen5.com 满分网],求直线l与直线MN夹角θ的取值范围.

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(Ⅰ)以直线MN为x轴,MN的中点为坐标原点O,建立直角坐标系xOy.由题意知点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为2的双曲线(不包含顶点),其轨迹方程为(y≠0). (Ⅱ)由题设条件知=±λ,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1+2,y1),=(x2+2,y2)设AB:my=x+2,代入得,(3m2-1)y2-12my+9=0.所以.由此入手能够求出直线l与直线MN夹角θ的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)以直线MN为x轴,MN的中点为坐标原点O, 建立直角坐标系xOy. (1分) ∵PM-PN=(PE+EM)-(PF+FN)=MD-ND=2 或PM-PN=(PE+EM)-(PF+FN)=MD-ND=-2 (3分) ∴点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为2的双曲线(不包含顶点), 其轨迹方程为(y≠0) (5分) (Ⅱ)∵(+λ)•(-λ)=0,且λ∈[2-,2+], ∴=±λ,(6分) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1+2,y1),=(x2+2,y2) 设AB:my=x+2,代入得,3(my-2)2-y2-3=0, 即(3m2-1)y2-12my+9=0. ∴(7分) ①当=λ时,y1=λy2,∴(8分)得,,(9分) ∴∈[4,6],即4≤≤6. ∴解得,m2≥3,故tan2θ≤(10分) ②当=-λ时y1=-λy2,∴(11分)得,,即. ∵λ∈[2-,2+],∈[2,4] ∴∈[-2,0],即-2≤≤0. ∴即,故tan2θ≥11. (13分) 由①、②得tan2θ≤或tan2θ≥11. 则夹角θ∈(0,]∪arctan,),(14分) ∵tanθ不存在时,直线l符合条件,故θ=时,符合题意. ∴θ∈(0,]∪[arctan,). (15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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