Question

在△ABC中，内角A、B、C对边分别是已知，求△ABC的面积．

Answer

根据三角形的内角和定理及诱导公式化简sinC+sin（B-A）=2sin2A，分cosA等于0和不等于0两种情况考虑，当cosA等于0时，得到A和B的度数，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到a=2b，c=b，又c+b=2+，即可求出b和c的值，根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；当cosA不等于0时，得到sinB=2sinA，根据正弦定理得到b与a的关系式，记作①，再根据余弦定理表示出cos的关系式，记作②，将①代入②即可求出a与b的值，进而得到c的值，根据勾股定理的逆定理判断得到△ABC是直角三角形，根据两直角边乘积的一半即可求出△ABC的面积，综上，得到△ABC的面积的两个值．
【解析】
由题意得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0时，则A=，B=，则a=2b，c=b，又c+b=2+，
所以b=，c=，所以S△ABC=bcsinA=；
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得：b=2a，①
又由余弦定理得：cos==，②
将①代入②，解得a=1或a=7+4＞b+c=2+（舍去），b=2，
此时c=，所以△ABC是直角三角形，所以S△ABC=ac=，
综上，△ABC的面积为或．