Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈Nⁿ）（I）求数列{a_n}的通项公式；（II）记b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer

（I）通过仿写作差将和与项的递推关系转化为项间的递推关系，利用等差数列的定义判断出数列{an}为等差数列，利用等差数列的通项公式求出通项．
（II）求出数列{bn}的通项，据通项特点，选择利用错位相减法求数列的前n项和．
【解析】
（I）令n=1，则2（S1+1）=a12+a1
∴a1=-1（舍）或a1=2
当n≥2时，2（Sn+1）=an2+an
2（Sn-1+1）=an-12+an-1
两式相减得
2an=an2-an-12+an-an-1
∵an＞0
∴an-an-1=1
∴数列{an}为等差数列，首项为2，公差为1
∴an=n+1
（II）∵bn=2n•an=（n+1）•2n
∴Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+（n+1）•2n
2Tn=2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1
两式相减得
-Tn=2+2+22+23+…+2n-（n+1）•2n+1
=2+
∴Tn=n•2n+1