Question

某学科的试卷中共有12道单项选择题．（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分＞．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，
求：（I）该考生得分为60分的概率；
（II）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer

（I）本题是一个相互独立事件同时发生的概率，考生要得60分，其余四道题必须全做对，根据条件中所说的关于四道题目的判断情况，得到每个题作对的概率，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（II）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，得45分表示三道题目中有一道题目做对，以此类推，得到概率，分布列和期望．
【解析】
（I）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
考生要得60分，其余四道题必须全做对，
∴得60分的概率为 ．
（II）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60，
得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错，
故求概率为 ；
同样可求得得分为45分的概率为
；
得分是50分的概率为P（ξ=50）=；
得分是55分的概率为P（ξ=55）=；
得分是60分的概率为P（ξ=60）=．
∴ξ的分布列为

∴．
该考生所得分数的数学期望为