已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）当a=1时，求f（x）的...

已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）当a=1时，求f（x）的极值；（II）若函数f（x）在 manfen5.com 满分网

上恒大于零，求实数a的最小值．

（1）当a=1时代入函数求出导数，计算极值，（2）展开函数，求导，根据导数的值判断函数的单调性，利用恒成立问题求出最值【解析】（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-（2/x）…2分由f′（x）＞0得x＞2；由f′（x）＜0得0＜x＜2…3分 ∴f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞]…4分 ∴f（x）有极小值f（2）2-2ln2，无极大值…5分（2）要对任意的x∈（0，1/2），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，1/2），a＞2-恒成立，…6分令l（x）=2-，x∈（0，），则l′（x）=[-（2/x）（x-1）-2lnx]/（x-1）2=（2lnx+2/x-2）/（x-1）…7分令M（x）=2lnx+2/x-2），x∈（1，）则M′（x）=-2/x2+=-2（1-x）/x2＜0…8分故M（x）在（0，）为减函数，所以M（x）＞M（）=2-2ln2＞0…9分所以l′（x）＞0，所以l（x）在（0，）上为增函数…10分所以l（x）＞l（）=2-4ln2 所以要使a＞2-恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞）综上：若函数f（x）在上恒大于零，实数a的最小值为2-4ln2…12分

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考点分析：

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