Question

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，DC=BC，E为PD中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）求证：AE⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

Answer

（1）欲证AE∥平面PBC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面PBC内一直线平行，取PC的中点为F，连接EF，则AE∥BF，又BF⊂平面PBC，满足定理所需条件；
（2）欲证AE⊥平面PDC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AE与平面PDC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知AE⊥PC，而AE⊥EF，EF∩PC=F，满足定理所需条件；
（3）延长CB交DA于B/，连接PB/，取B/P的中点为H，连接AH，BH，则BH⊥B/P，由三垂线定理知，AH⊥B/P，则∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角，在Rt△AHB中，求出此角即可．
【解析】
（1）证明：取PC的中点为F，连接EF，则EF为△PDC的中位线，即EF平行且等于DC．
又∵AB∥CD，
∴AB平行且等于EF，
∴AE∥BF，
又∵BF⊂平面PBC，
∴四边形AEFB为矩形，
∴AE∥平面PBC．（3分）
（2）证明：∵△PBC为正三角形，F为PC的中点，
∴BF⊥PC
又EF⊥PC，EF∩BF=F，
∴PC⊥平面AEFB，AE⊥PC；
由（1）知AE⊥EF，EF∩PC=F，
∴AE⊥平面PDC．（7分）
（3）延长CB交DA于B/，连接PB/，设BC=a，
∵AB=DC，
∴BB/=BP=a，取B/P的中点为H，连接AH，BH，则BH⊥B/P，由三垂线定理知，AH⊥B/P，
∴∠AHB为平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角．（9分）
在Rt△AHB中，AB=a，AH=a，∴sin∠AHB=，∠AHB=
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角为．（12分）