Question

已知函数（b，c为常数）．
（1）若f（x）在x=1和x=3处取得最值，求b，c的值；
（2）若f（x）在x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）上单调递增，且在上单调递减，又满足x₂-x₁＞1，求证：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的条件下，若t＜x₁，比较t²+bt+c和x₁的大小，并加以证明．

Answer

（1）先求函数f（x）的导函数，故x=1和x=3是导函数的零点从而得到答案．
（2）根据导函数大于0时原函数单调增，导函数小于0时原函数单调递减代入可得答案．
（3）根据x1，x2是x2+（b-1）x+c=0两根，所以可得x2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2），然后整理放缩可得答案．
【解析】
（1）f'（x）=x2+（b-1）x+c，由题意知1、3是方程x2+（b-1）x+c=0两根，∴，
∴b=-3，c=3
（2）由题意知，当x∈（-∞，x1）、（x2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，
∴x1，x2是x2+（b-1）x+c=0两根，x1+x2=1-b，x1x2=c，
∴b2-2（b+2c）=b2-2b-4c=[1-（x+x）2]-2[1-（x1+x2）]-4x1x2=（x+x）2-1，
∵x1-x2＞1，∴（x+x）2-1＞0，
∴b2＞2（b+2c）．
（3）在（2）下，由上题知x2+（b-1）x+c=（x-x1）（x-x2），即x2+bx+c=（x-x1）（x-x2）+x，
∴t2+bt+c-x1=（t-x1）（t-x2）+t-x1=（t-x1）（t+1-x2）．
∵x2＞1+x1＞1+t，
∴1+t-x2＜0．
∵0＜t＜x1，∴t-x1＜0，
∴（t-x1）（t+1-x2）＜0，
∴t2+bt+c＞x1．