Question

已知双曲线的离心率为，右焦点为F，过点M（1，0）且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，并且．
（1）求双曲线方程；
（2）过右焦点F作直线l交双曲线C右支于P，Q两点，问在原点与右顶点之间是否存在点N，使的无论直线l的倾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．

Answer

（1）依题意可分别求得a和b，a和c的关系代入双曲线的方程，设出A，B的坐标利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用直线方程求得y1y2的表达式，进而利用得关于a的方程求得a，则b可求．则椭圆的方程可得．
【解析】
（1）由题意知b2=2a2，c2=3a2，代入双曲线得x2+2x-1-2a2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2-2，x1x2=-2a21，y1y2=x1x2-（x1+x2）+1=-2a2+2．
又，则，，
得，
∴，
∴，方程为．
（2）直线l：y=k（x-3），．设P（x，y），Q（x3，y3），N（x4，y4），
联立方程得（2-k2）x2+6k2x-9k2-6=0，
得，，，．
∵∠PNF=∠QNF，
∴kPN+kQN=+=，
∴，所以存在点N．