Question

如图，在边长为10的正三角形纸片ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC上（设为P），在这种情况下，求AD的最小值．

Answer

在图（2）中连接DP，由折叠可知AD=PD，根据等边对等角可得∠BAP=∠APD，又∠BDP为三角形ADP的外角，若设∠BAP为θ，则有∠BDP为2θ，再设AD=PD=x，由AB=AD+DB=BD+DP=10，可知BD为10-x，在等边三角形ABC中，∠ABP为60°，根据三角形的内角和定理可得∠APB=180°-∠ABP-∠BAP，用θ表示出∠APB为120°-θ，进而表示出∠DPB为120°-2θ，在三角形BDP中，由表示出的BD，DP，以及sin∠BDP，sin∠DBP，利用正弦定理列出关于x的方程，表示出x，根据θ的范围，得出120°-2θ的范围，根据正弦函数的图象与性质得出正弦函数的最大值，进而得出x的最小值，即为AD的最小值．

【解析】
显然A，P两点关于折线DE对称，
连接DP，图（2）中，可得AD=PD，则有∠BAP=∠APD，
设∠BAP=θ，∠BDP=∠BAP+∠APD=2θ，
再设AD=DP=x，则有DB=10-x，
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ，
∴∠BPD=120°-2θ，又∠DBP=60°，
在△BDP中，由正弦定理知=，
即=，
∴x=，
∵0°≤θ≤60°，
∴0°≤120°-2θ≤120°，
∴当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1．
此时x取得最小值=-30，且∠ADE=75°．
则AD的最小值为-30．