Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；（2）当a₁=2时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若对任意n∈N^*，都有≥5成立，求a₁的取值范围．

Answer

（1）由等差数列的定义，若数列{an}是等差数列，则an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd．结合an+1+an=4n-3，得即可解得首项a1的值；
（2）由an+1+an=4n-3（n∈N*），用n+1代n得an+2+an+1=4n+1（n∈N*）．两式相减，得an+2-an=4．从而得出数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列．进一步得到数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．下面对n进行分类讨论：①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别求和即可；
（3）由（2）知，an=（k∈Z）．①当n为奇数时，②当n为偶数时，分别解得a1的取值范围，最后综上所述，即可得到a1的取值范围．
【解析】
（1）若数列{an}是等差数列，则an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd．
由an+1+an=4n-3，得（a1+nd）+[a1+（n-1）d]=4n-3，即2d=4，2a1-d=-3，解得d=2，a1=．
（2）由an+1+an=4n-3（n∈N*），得an+2+an+1=4n+1（n∈N*）．
两式相减，得an+2-an=4．
所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列．
数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列．
由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1．
所以an=（k∈Z）．
①当n为奇数时，an=2n，an+1=2n-3．Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an
=1+9+…+（4n-11）+2n=+2n=．
②当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）═1+9+…+（4n-7）=．
所以Sn=（k∈Z）．
（3）由（2）知，an=（k∈Z）．
①当n为奇数时，an=2n-2+a1，an+1=2n-1-a1．
由≥5，得a12-a1≥-4n2+16n-10．
令f（n）=-4n2+16n-10=-4（n-2）2+6．
当n=1或n=3时，f（n）max=2，所以a12-a1≥2．
解得a1≥2或a1≤-1．
②当n为偶数时，an=2n-3-a1，an+1=2n+a1．
由≥5，得a12+3a1≥-4n2+16n-12．
令g（n）=-4n2+16n-12=-4（n-2）2+4．
当n=2时，g（n）max=4，所以a12+3a1≥4．
解得a1≥1或a1≤-4．
综上所述，a1的取值范围是（-∞，-4]∪[2，+∞）．