Question

已知函数f（x）=lg[1-a（）^x+（）^x]
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在x∈（-2，1]上恒有意义，求实数a的取值范围．

Answer

（I）利用换元法，令t=（）x，（t＞0），要将a=1时，函数f（x）的中的真数部分化为二次函数的形式，利用二次函数的图象和性质，可求出真数的值域，进而根据对数函数的单调性，求出函数f（x）的值域
（Ⅱ）若f（x）在x∈（-2，1]上恒有意义，则t2-at+1＞0在[，4）上恒成立，即a＜t+在[，4）上恒成立，利用基本不等式求出t+在[，4）上的最小值，可得答案．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，
令t=（）x，（t＞0）
则y=f（x）=lg（t2-t+1）=lg[（t-）2+]≥lg
所以值域为[lg，+∞） …（6分）
（Ⅱ） 当x∈（-2，1]时，t∈[，4）
若 f（x）在x∈（-2，1]上恒有意义，
则t2-at+1＞0在[，4）上恒成立．
即a＜t+在[，4）上恒成立
由于t+在[，4）上的最小值为2
故a＜2┅┅┅┅┅┅（12分）