Question

设函数f（x）=2sin（ωx+）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按=（，-1）平移后得一奇函数，
（Ⅰ）求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项公式为a_n=f（n）（n∈N⁺），S_n为其前N项的和，求S₂₀₁₀的值．

Answer

（Ⅰ）根据将f（x）的图象按=（，-1）平移，可得到平移后的函数，利用g（x）为奇函数，可得k=1，，结合0＜ω＜π，即可求得函数f（x）的解析式，进而整体思维，由x∈[0，2]，确定，从而可求当x∈[0，2]时函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）由an=f（n），可得an=2sin（n+）+1，数列的周期为4，根据S2010=502（+a1+a2，可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意，设函数f（x）=2sin（ωx+）+k（0＜ω＜π），将f（x）的图象按=（，-1）平移后，得到函数g（x），则
∵g（x）为奇函数
∴所以k=1，，∴
∵0＜ω＜π，∴
∴f（x）=2sin（x+）+1┅┅┅┅┅（3分）
∵x∈[0，2]，∴
∴sin（x+）
∴f（x）∈[0，3]┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）
（Ⅱ）∵an=f（n），∴an=2sin（n+）+1，T=4
∴┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）
∴S2010=502（+a1+a2=2009+┅┅┅（12分）