Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=．DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设=λ，试确定实数λ的取值范围．

Answer

（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+，可得动点P的轨迹是椭圆，由此易得椭圆的方程；

（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x2+2y2=2，得（2k2+1）x2+8kx+6=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，再由过D点的直线L可能是Y轴也可能斜率存在分为两类，由=λ对实数λ的取值范围进行讨论即可得到所求的答案
【解析】
（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+
∴动点P的轨迹是椭圆
∴a=，b=1，c=1
∴曲线E的方程是 ．
（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x2+2y2=2，得（2k2+1）x2+8kx+6=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则

i）  L与y轴重合时，=λ=
ii）  L与y轴不重合时，由①得   
 又∵λ==，
∵x2＜x1x1＞0
∴0＜λ＜1，
∴
∵
而
∴6＜＜8
∴4＜＜
∴4＜＜，即，
由解得λ的取值范围是[，1）．