Question

定义：若平面点集A中的任一点（x，y），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①（x，y）|x²+y²=4；②（x，y）|x+y-2＞0；③（x，y）||x+y|≤2；④．其中是开集的是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．③④

Answer

根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x2+y2=4}表示以原点为圆心，2为半径的圆，以圆上的点为圆心正实数r为半径的圆面不可能在该圆上，故不是开集，②是集A中的任一点（x，y），则该点到直线的距离为d，取r=d，满足条件，故是开集；③在曲线x+y|=2任意取点（x，y），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集；④该平面点集A中的任一点（x，y），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，，故该集合是开集．
【解析】
①：A={（x，y）|x2+y2=4}表示以原点为圆心，2为半径的圆，
则在该圆上任意取点（x，y），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足
故①不是开集；
②A={（x，y）|x+y-2＞0}平面点集A中的任一点（x，y），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足，，故该集合是开集；
③A={（x，y）||x+y|≤2}，在曲线x+y|=2任意取点（x，y），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集；
④A=表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x，y），则该点到
圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，，故该集合是开集．
故选C．