Question

半径为1的球面上有A，B，C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是．
（1）求球心O到平面ABC的距离；
（2）求异面直线OA和BC的距离；
（3）求二面角B-AC-O的大小．

Answer

（1）由已知A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是，我们可以得到AO⊥面BOC，求出三棱锥O-ABC的体积及三角形ABC的面积，即可求出球心O到平面ABC的距离；
（2）过O作OD⊥BC，可证得OD为异面直线OA和BC的公垂线段，即为异面直线OA和BC的距离，解△OBC，即可得到OD的长，进而得到异面直线OA和BC的距离；
（3）过B作BE⊥OC，可证得BE⊥面AOC，则△ABC在面AOC内的投影为△AEC，则S△ABC•cosθ=S△AEC（其中θ为二面角B-AC-O的大小），分别求出两个三角形的面积，即可求出二面角B-AC-O的大小．
【解析】
（1）由题意知：∠AOC=，∠AOB=，∠BOC=，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=，BC=1．
∵
又（h为O到平面ABC的距离）
∵∴
∴球心O到平面ABC的距离（4分）
（2）过O作OD⊥BC，∵AO⊥面BOC，且OD⊂面BOC，∴OD⊥AO，
∴OD为异面直线OA和BC的公垂线段，即为异面直线OA和BC的距离．
又∵△OBC为等边三角形，且边长为1．所以OD=
异面直线OA和BC的距离为（8分）
（3）过B作BE⊥OC，∵△BOC为等边三角形，∴则垂足为OC的中点．
∵AO⊥面BOC且BE⊂面BOC，
∴AO⊥BE，又，BE⊥OC，OA∩OC=O．∴BE⊥面AOC
∴△ABC在面AOC内的投影为△AEC
∵S△ABC•cosθ=S△AEC（其中θ为二面角B-AC-O的大小），∴
∴二面角B-AC-O的大小：（12分）