Question

（1）叙述并证明等比数列的前n项和公式；
（2）已知S_n是等比数列{a_n} 的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，求证：a_1+k，a_7+k，a_4+k（k∈N）成等差数列；
（3）已知S_n是正项等比数列{a_n} 的前n项和，公比0＜q≤1，求证：2S_n+1≥S_n+S_n+2．

Answer

（1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，则设等比数列为{an}，公比为q．Sn=a1+a1q++a1qn-2+a1qn-1；分q=1时，Sn=na1，q≠1时，qSn=，a1q+…+a1qn-2+a1qn-1+a1qn，，利用乘公比错位相减可求
（2）由S3，S9，S6成等差数列可得2S9=S3+S6，根据（1）可知公比q≠1，从而有，整理可得1+q3=2q6，而2a7+k=2a1qk+6=2a1q6•qk⇒a1+k+a4+k=a1qk+a1qk+3=a1（1+q3）•qk⇒1+q3=2q6∴2a7+k=a1+k+a4+k，从而可证a1+k，a7+k，a4+k（k∈N）成等差数列
（3）分q=1时.2Sn+1-（Sn+Sn+2）=2（n+1）a1-na1-（n+2）a1=0⇒2Sn+1=Sn+Sn+2，0＜q＜1时，利用作差法可得，
=a1qn（1-q）＞0，从而可得2Sn+1＞Sn+Sn+2
【解析】
（1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，则（1分）
证明：设等比数列为{an}，公比为q．
∴Sn=a1+a1q++a1qn-2+a1qn-1①
当q=1时，Sn=na1（2分）
当q≠1时，qSn=，a1q++a1qn-2+a1qn-1+a1qn②
1-②：（1-q）Sn=a1-a1qn2，从而3
∴（4分）
（2）∵S3，S9，S6成等差数列∴2S9=S3+S6，显然公比q≠1
∴，∴1+q3=2q6（6分）
∴2a7+k=2a1qk+6=2a1q6•qk又因为：a1+k+a4+k=a1qk+a1qk+3=a1（1+q3）•qk
∵1+q3=2q6∴2a7+k=a1+k+a4+k
∴a1+k，a7+k，a4+k（k∈N）成等差数列．（8分）
（3）当q=1时.2Sn+1-（Sn+Sn+2）=2（n+1）a1-na1-（n+2）a1=0∴2Sn+1=Sn+Sn+2．（9分）
当0＜q＜1时，
=a1qn（1-q）＞0
∴2Sn+1＞Sn+Sn+2
综上2Sn+1≥Sn+Sn+2（12分）