Question

已知椭圆，过E（1，0）作两条直线AB与CD分别交椭圆于A，B，C，D四点，已知．
（1）若AB的中点为M，CD的中点为N，求证：①为定值，并求出该定值；②直线MN过定点，并求出该定点；
（2）求四边形ACBD的最大值．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减得，同理，，
所以．由此能导出MN必过OE的中点；
（2）设AB的方程为y=k1（x-1），CD的方程为y=k2（x-1）．由，得，，同理，由此能导出四边形ACBD的最大值．
【解析】
（1）证明：①设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．
两式相减得，即c=2时，．
同理，∴
∴（4分）
4由①知：c=2时，5，又已知
∴kOM=kCD，从而OM∥CD．
同理可知：ON∥AB∴四边形ONEM为平行四边形．
∴MN必过OE的中点
（2）设AB的方程为y=k1（x-1），CD的方程为y=k2（x-1）．
由，得
∴，同理
∵
令tanα=|k1|，tanβ=|k2|∴∴θ=α+β
∴
∴=
∴（12分）