Question

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；
②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．试解答下列问题：
（1）设c＞2，方程f（x）=2的根由小到大依次记为a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，试证明：数列a_2n-1+a_2n为等比数列；
（2）①是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条直线上？若存在，试求出c的所有取值并写出直线方程；若不存在，试说明理由；②是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上？若存在，试求出c的所有取值并写出抛物线方程；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）先利用分类讨论的方法化简函数f（x），令，从而n≥3，故或，当n≥3时，=，于是a1+a2=22+23，a3+a4=23+24，从而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1，n∈N*．从而得出数列a2n-1+a2n构成以12为首项，2为公比的等比数列．
（2）记函数的极大值点为pn（xn，yn）．由=（k表示直线的斜率），得c=2或c=1．分别求出当c=2时的抛物线方程，以及当c=4，时，抛物线方程即可．
【解析】
函数f（x）是一个分段函数．
；
；
．
（1）令，（2）
从而n≥3，故或，于是，或．
当n≥3时，=
故，，，，于是a1+a2=22+23，a3+a4=23+24，从而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1，n∈N*．
故数列a2n-1+a2n构成以12为首项，2为公比的等比数列．（6分）
（2）记函数的极大值点为pn（xn，yn）．
令，即xn=3•2n-2时，yn=cn-2，故pn（3•2n-2，cn-2）．
分别令n=1，2，3得，p2（3，1），p3（6，c）．
由=（k表示直线的斜率），得c=2或c=1．
当c=2时，yn=2n-2，xn=3•2n-2，所有极大值点均在直线上；
当c=1时，yn=1对n∈N*恒成立，此时极大值点均在直线y=1上．（10分）
以原点为顶点的抛物线方程可设为x2=py（p≠0）或y2=qx（q≠0）．
若pn（3•2n-2，cn-2）．在抛物线x2=py（p≠0）上，则（3•2n-2）2=pcn-2，
即对n∈N*恒成立，从而c=4，p=9，抛物线方程为x2=9y；
若pn（3•2n-2，cn-2）．在抛物线y2=qx（q≠0）上，则（cn-2）2=3q•2n-2，
即对n∈N*恒成立，从而，抛物线方程为y2=x（14分）