Question

若关于的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的两个实数根x₁，x₂满足x₁≤0≤x₂≤1，则a²+b²+4a的最小值和最大值分别为（ ）
A．和5+4
B．-和5+4
C．-和12
D．-和15-4

Answer

由题设条件，令f（x）=x2-（a2+b2-6b）x+a2+b2+2a-4b+1，由关于的方程x2-（a2+b2-6b）x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，可得f（0）≤0，f（1）≥0，由此得出a，b所满足的关系，再求a2+b2+4a的最小值和最大值，选出正确选项
【解析】
令f（x）=x2-（a2+b2-6b）x+a2+b2+2a-4b+1，函数开口向上，又关于的方程x2-（a2+b2-6b）x+a2+b2+2a-4b+1=0的两个实数根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，
得，即a2+b2+2a-4b+1≤0且a+b+1≥0
即（a+1）2+（b-2）2≤4且a+b+1≥0
表示以（-1，2）为圆心，半径小于等于2的圆平面与a+b+1=0右上部分平面区域的重叠部分
又a2+b2+4a=（a+2）2+b2-4
只要在满足条件区域中求点（a，b）到点（-2，0）距离最大最小即可
1）求最小
最小值为（-2，0）到a+b+1=0距离的平方减去4，得-
2）求最大
最大值为（-2，0）与（-1，2）距离
原式最大=（+2）2-4=5+4
故选B