Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer

（1）取AB的中点E，则DE∥BC，证出DE，DC，DA1为 两两垂直后，以D为原点，建立空间坐标系，由 •=0，结合BA1⊥AC1，可以证出AC1⊥平面ABC．
（2）设A1（0，0，t），由BA1⊥AC1，，得t=，分别求出平面A1AB，平面A1BC 的一个法向量，利用两法向量夹角求出二面角A-A1B-C  的大小．
【解析】
（1）取AB的中点E，因为D为AC的中点
则DE为△ABC中位线，得出DE∥BC，
因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，
又A1D⊥平面ABC，所以DE，DC，DA1 两两垂直，
以DE，DC，DA1为轴建立空间坐标系，
则A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，t），C1（0，2，t），
=（0，3，t），=（-2，-1，t），=（2，0，0），
由 •=0，知AC1⊥CB，又BA1⊥AC1，，从而AC1⊥平面ABC．． …（6分）
（2）由•=-3+t2=0，，得t=．设平面A1AB的一个法向量为=（x，y，z），
因为=（0，1，），=（2，2，0），所以，
设z=1，则=（，，1）
 再设平面A1BC 的一个法向量为=（z′，y′，z′），因为=（0，-1， ），=（2，0，0），所以，
设z=1，则为=（0，，1），
∴cos＜，＞===-．，
又二面角A-A1B-C 为锐二面角，所以大小为arccos．
． …（12分）