Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；（2）求证：．

Answer

（1）根据题意，f′（x）=2x+，在（-1，+∞）上的符号只有一种，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根据函数f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）总有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得b取值范围是 ；
（2）先构造不等式，进行恰当放缩：，利用这个式子进行累加，得 ，结合 可得不等式成立．
【解析】
（1）∵f'（x）=，且f（x）在定义域上是单调函数，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．…（1分）
若f'（x）≥0，∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立．
即b≥-2x2-2x=-2x（x+1）在（-1，+∞）上恒成立，
∵当x∈（-1，+∞）时，-2x（x+1）=-2
∴b≥；…（3分）
若f'（x）≤0，∵x+1＞0，
∴2x2+2x+b≤0在（-1，+∞）上恒成立．
即b≤-2（x2+x）在（-1，+∞）上恒成立．
∵-2（x2+x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数b使f'（x）≤0恒成立．…（5分）
综上可知，实数b的取值范围是[，+∞）．                    …（6分）
（2））∵
∴．
又∵．
故不等式成立．