Question

已知数列{a_n}满足：其中k＞0，数列{b_n}满足：
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．

Answer

（1）经过计算可知：a4=k+1，a5=k+2，．根据数列{bn}满足：，从而可求求b1，b2，b3，b4；
（2）由条件可知：an+1an-2=k+anan-1．类似地有：an+2an-1=k+an+1an，两式相减整理得bn=bn-2，从而可求数列{bn}的通项公式；
（3）假设存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数则由（2）可知：…③
由可求得k=1，2．只需证明 k=1，2时，满足题意．
【解析】
（1）经过计算可知：a4=k+1，a5=k+2，．
求得．…（4分）
（2）由条件可知：an+1an-2=k+anan-1．…①
类似地有：an+2an-1=k+an+1an．…②
①-②有：
即：bn=bn-2
∴

所以：．…（8分）
（3）假设存在正数k，使得数列{an}的每一项均为整数
则由（2）可知：…③
由可知k=1，2．
当k=1时，为整数，利用a1，a2，a3∈Z，结合③式，反复递推，可知{an}的每一项均为整数
当k=2时，③变为…④
我们用数学归纳法证明a2n-1为偶数，a2n为整数
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a2n-1为偶数，a2n为整数，故a2n+1=2a2n-a2n-1为偶数，a2n+2为整数，所以n=k+1时，命题成立．
故数列{an}是整数列．
综上所述，k的取值集合是{1，2}．…（13分）