Question

有以下真命题：设，，…，是公差为d的等差数列{a_n}中的任意m个项，若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，则有②，特别地，当r=0时，称a_p为，，…，的等差平均项．
（1）当m=2，r=0时，试写出与上述命题中的（1），（2）两式相对应的等式；
（2）已知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n，试根据上述命题求a₁，a₃，a₁₀，a₁₈的等差平均项；
（3）试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题．

Answer

（1）当m=2，r=0时，，可化为，可化为；
（2）由等差数列{an}的通项公式为an=2n，可得a1，a3，a10，a18的值，代入公式可得a1，a3，a10，a18的等差平均项；
（3）根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律，可以类比推断出设，，…，是公比为q的等比数列{an}中的任意m个项，若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，则有 ②，特别地，当r=0时，称ap为，，…，的等比平均项．
【解析】
（1）∵若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
则有②，
又∵当m=2，r=0时，
，可化为，
可化为；
故原命题可化为：若，则．
（2）∵an=2n，
∴a1=2，a3=6，a10=20，a18=36．
∵，
∴．
（3）由设，，…，是公差为d的等差数列{an}中的任意m个项，
若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0）①，
则有②，
特别地，当r=0时，称ap为，，…，的等差平均项．
根据等比数列运算级比等差数列高的一般性质规律，可以类比推断出以下真命题：
设，，…，是公比为q的等比数列{an}中的任意m个项，
若（0≤r＜m，p、r、m∈N或r=0①，
则有 ②，
特别地，当r=0时，称ap为，，…，的等比平均项．