Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．
（1）设f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）当a≤0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当a=-1时，证明：．

Answer

（1）先求导函数，根据x=0是f（x）的一个极值点，可得f'（0）=0，从而可求a的值；
（2）先求导函数，再对a进行讨论，利用f'（x）＞0得函数的单调递增区间，
f'（x）＜0得函数的单调递减区间；
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0，可得ln（1+x2）＜x，进而可证得结论．
【解析】
（1），
因为x=0是f（x）的一个极值点，所以f'（0）=0，
∴a=0
此时，可知x＜0，f′（x）＜0；x＞0，f′（x）＞0
∴a=0符合条件…（4分）
（2）因为
①当a=0时，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；…（5分）
②当即当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立．
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；…（7分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴，
∴f（x）在上单调递增，
同理得，f（x）在和上单调递减；…（9分）
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
当x∈（0，+∞）时，由f（x）=ln（1+x2）-x＜f（0）=0⇒ln（1+x2）＜x…（10分）
从而有：
∴…（12分）