Question

数列{a_n}的前n项的和为S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试比较与的大小，并加以证明．

Answer

（Ⅰ）先根据an-1=Sn+1-Sn+1求得an+1与an的关系式，进而代入中，求得进而证明为等比数列，公比为，首项为-2，进而求得{an}的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的an可求得Sn的表达式，再让-化简得所以只要比较2n与2n+1的大小即可．
【解析】
（1）由Sn=3an-3n+1得Sn+1=3an+1-3n+2，相减得：，
故，
∴，
即是以为首项，以为公比的等比数列
由已知得：，∴，故，
所以（8分）
（2），故只要比较与的大小，
∵，
所以只要比较2n与2n+1的大小，
当n=1，2时，2n＜2n+1；
当n≥3时，2n=Cn+Cn1++Cnn-1+Cnn＞Cn+Cn1+Cnn-1=2n+1
所以当n=1，2时，当n≥3时，．