Question

如图，已知ABCD 为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E 在CD 上，EF∥BC，BD⊥AD，BD 与EF 相交于N．现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上．
（Ⅰ） 求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ） 求折后直线DE 与平面BCEF 所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）要证BD⊥平面BCEF，只需证明D在平面BCEF上的射影为点B即可；
（Ⅱ）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角，进而利用直角三角形，利用余弦函数即可求直线DE与平面BCEF所成角的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）∵EF⊥DN，EF⊥BN，DN∩BN=N
∴EF⊥面DNB 
∵EF⊂平面BCEF，
∴平面BDN⊥平面BCEF，
∵BN=平面BDN∩平面BCEF，
∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，
∵D在平面BCEF上的射影在直线BC上，
∴D在平面BCEF上的射影即为点B，
∴BD⊥平面BCEF．--------（6分）
（Ⅱ）连接BE，由BD⊥平面BCEF，得∠DEB即为直线DE与平面BCEF所成角．
在原图中，由已知，可得 
折后，由BD⊥平面BCEF，知BD⊥BN
则BD2=DN2-BN2=9，即BD=3
则在Rt△DEB中，有BD=3，DE=4，则，
故 
即折后直线DE与平面BCEF所成角的余弦值为．--------（14分）