Question

已知函数（a∈R ）
（Ⅰ） 若y=f（x） 在点P（1，f（1））处的切线方程为，求y=f（x）的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ） 若y=f（x） 在[-2，0]上存在极值点，求实数a的取值范围．

Answer

（I）先求导函数，然后根据y=f（x） 在点P（1，f（1））处的切线方程为，建立方程组，解之即可求出a、b的值，再解不等式f'（x）＜0，可求出函数的单调减区间；
（II）欲式y=f（x） 在[-2，0]上存在极值点，只需y=f'（x）在[-2，0]上存在零点且在零点两侧y=f'（x）值异号，讨论a=0与a≠0两种情形，然后利用二次函数的性质建立不等关系，解之即可．
【解析】
f'（x）=ax2+x-（2+2a） 
（Ⅰ）由已知可得 此时f'（x）=-x2+x，--------（4分）
由f'（x）=-x2+x＜0 得y=f（x） 的单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）；----（7分）
（Ⅱ）由已知可得y=f'（x）在[-2，0]上存在零点且在零点两侧y=f'（x）值异号
（1）a=0 时，f'（x）=0⇒x=2∉[-2，0]，不满足条件；
（2）a≠0 时，可得在[-2，0]上有解且△＞0 
设 
①当g（-2）g（0）≤0 时，满足g（x）=0在[-2，0]上有解 
或a≤-1 此时满足△＞0 
②当g（-2）g（0）＞0时，即g（x）=0 
在[-2，0]上有两个不同的实根
则 a 无解
综上可得实数a的取值范围为（-∞-1]∪[2，+∞）．--------（15分）