Question

如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起如图2的位置，使AD=AE．
（I）求证：BC∥平面DAE；
（II）求四棱锥D-AEFB的体积；
（III）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．

Answer

（I）因为CF∥DE，FB∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB⊂面CBF，DE、AE⊂面DAE，满足面面平行的判定定理，从而面CBF∥面DAE，而BC⊂面CBF，根据面面平行的性质定理可知BC∥平面DAE；
（II）取AE的中点H，连接DH，先证DH⊥面AEFB，从而得到DH为四棱锥的高，再利用锥体的体积公式求出体积即可；
（III）以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系，根据求出点C的坐标，而是平面ADE的一个法向量，然后再求出平面BCD的一个法向量为，最后利用公式进行求解，即可求出面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值．
【解析】
（I）证明：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，
∴CF∥DE，FB∥AE
又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB⊂面CBF，DE、AE⊂面DAE
∴面CBF∥面DAE…（2分）
又BC⊂面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）
（II）取AE的中点H，连接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴，又AE∩EF=E
∴DH⊥面AEFB…（5分）
所以四棱锥D-AEFB的体积…（6分）
（III）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则A（-1，0，0），D（0，0，），B（-1，-2，0），E（1，0，0），F（1，-2，0）
因为，
所以…（8分）
易知是平面ADE的一个法向量，…（9分）
设平面BCD的一个法向量为
由
令x=2，则y=2，，∴…（10分）

所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为…（12分）