Question

已知函数，令（m∈R）．
（1）若∃x＞0，，使f（x）≤0成立，求实数m的取值范围；
（2）设1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有H（x₁）-H（x₂）＜1．

Answer

（1）由题意，得．讨论m的范围判断函数的单调性与其最值，通过最小值与0的关系得到m的范围．
（2）≤0，所以函数H（x）在[1，m]上单调递减．，所以设判断其单调性求其最值即可证得．
【解析】
（1）由题意，得．
①当m＞0时，，因此f（x）在（0，+∞）上单调递增，由对数函数的性质，知f（x）的值域为R，因此∃x＞0，使f（x）≤0成立；
②当m=0时，，对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；
③当m＜0时，由得，

x
- +
f（x） ↘ 极小值 ↗

此时．
令．
所以对∀x＞0，f（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（-e，0]．
故∃x＞0，使f（x）≤0成立，实数m的取值范围是（-∞，-e]∪（0，+∞）．
（2）∵，
∴．
∀x∈[1，m]，≤0，所以函数H（x）在[1，m]上单调递减．
于是．
．
记，
则，
所以函数在（1，e]上是单调增函数，
所以，
故对∀x1，x2∈[1，m]，恒有H（x1）-H（x2）＜1．