Question

若（x+m）²ⁿ⁺¹与（mx+1）2ⁿ（n∈N^*，m≠0）的展开式中含xⁿ的系数相等，则实数m的取值范围是（ ）
A．（]
B．
C．（-∞，0）
D．（0，+∞）

Answer

利用二项展开式的通项公式分别求出两个二项式的通项，令x的指数为n求出两个二项式展开式中含xn的系数，列出方程，利用组合数公式得到m，n的关系，将m用n表示，通过求函数的值域，求出m的范围．
【解析】
（x+m）2n+1的展开式的通项公式为Tr+1=C2n+1rmrx2n+1-r
由2n+1-r=n得n=r-1得r=n+1
∴展开式中当xn的项的系数为C2n+1n+1mn+1①
又（mx+1）2n展开式的通项公式Tk+1=C2nk（mx）2n-k=m2n-kC2nkx2n-k
由2n-k=n得n=k
∴这一展开式中含xn的项的系数为mnC2nn②
∴由①，②得C2n+1n+1mn+1=mnC2nn
mC2n+1n=C2nn

∴=
∴m＞③
又m
∴④
于是由③，④得，
故选项为A．