Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若 sinα+f（α）=的值．

Answer

（1）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离，确定函数的周期，求出ω，确定ϕ的值，求出f（x）的解析式；
（2）把上一问求出的结果代入函数的解析式，得到角的正弦与余弦的和，用诱导公式和二倍角公式把所给的式子进行整理，根据同角的三角函数之间的关系得到结果．
【解析】
（1）∵f（x）为偶函数，∴sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
2sinωxcosφ=0恒成立
∴cosφ=0
又0≤φ≤，
∴φ=．其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为，
设其最小正周期为T，则=π，
∴T=2π，∴ω=1，
∴f（x）=cosx
（2）∵原式==2sinαcosα，又sinα+cosα=，
∴1+2sinαcosα=，
∴2sinαcosα=-，
∴原式=-