Question

10个实习小组在显微镜下实测一块矩形蕊片，测得其长为29μm，30μm，31μm的小组分别有3个，5个，2个，测得其宽为19μm，20μm，21μm的小组分别有3个，4个，3个，设测量中矩形蕊片的长与宽分别为随机变量ξ和η，周长为μ．
（1）分别在下表中，填写随机变量ξ和η的分布律；
（2）求周长μ的分布律，并列表表示；
（3）求周长μ的期望值．

Answer

（1）由题设中数据，作出如图的分布律表格即可
（2）计算出周长的值，并计算出相应的概率，列出分布列即可
（3）分布列根据求期望值的公式求出期望值，易求．列分布列的方法有二，
法一：列出周长的分布列求期望值；
法二：列出四边形长的分布列求出长的期望值，再列四边形宽的分布列，求出宽的期望值，由于周长期望值等于长与宽的期望值和的2倍，故得
【解析】

（1）作出如图的分布律表格即可

长度ζ（μm） 29 30 31
P 0.3 0.5 0.2

宽度η（μm） 19 20 21
P 0.3 0.4 0.3

（2）P（μ=96）=0.3×0.3=0.09；P（μ=98）=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27；P（μ=100）=0.5×0.4+0.2×0.3+0.3×0.3=0.35；
P（μ=102）=0.2×0.4+0.5×0.3=0.23；P（μ=104）=0.2×0.3=0.06．
周长分布列如下表所示

周长μ μm 96 98 100 102 104
P 0.09 0.27 0.35 0.28 0.06

（3）解法一：（利用周长的分布计算）Eμ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8．
解法二：（利用矩形长与宽的期望计算）由长和宽的分布列可以算得
Eζ=29×P（ζ=29）+30×P（ζ=30）+31×P（ζ=31）=29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9，
Eη=19×P（η=19）+20×P（η=20）+21×P（η=21）=19×0.3+20×0.4+21×0.3=20．
由期望的性质可得Eμ=2（Eζ+Eη）=2×（29.9+20）=99.8．