Question

设函数f（x）=（a∈N^*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设{a_n}是各项非零的数列，若对任意n∈N^*成立，求数列{a_n}的一个通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{a_n}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．

Answer

（1）利用f（m）=m，f（-m）＜-关系及（a∈N*）构造一个不等式，求出a的值，即求出函数f（x）的表达式．
（2）令sn=a1+a2+…+an，根据（1）求得f（x）的表达式，代入求出递推式sn与an的关系，
再利用求出数列{an}的一个通项公式；
（3）根据（2）的条件数列{an}的通项公式不止一个，给出实例即证．
【解析】
（1）∵f（x）=（a∈N*），
∴f（m）==m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，显然a≠1，所以m=①；
又f（-m）=＜-，即＞1，
由（a，m∈N*）得：m3＞am+2②，
把①代入②，得＞+2；
整理，得--4＞0，
根据a≠1，a∈N*，取a=2，满足上式，当a≥3时，--4＜0，
故a=2，此时m=2；
所以，函数f（x）=．
（2）令sn=a1+a2+…+an，根据（1）知f（x）=，则=，
代入，
得2an-2an2=4（a1+a2+…+an）=4sn，即an-an2=2sn，
∴an-1-an-12=2sn-1（n≥2），
∴（an-an2）-（an-1-an-12）=2an，
∴an+an-1=0，或an-an-1=-1（n≥2），
又当n=1时，a1-a12=2a1，
∴a1=0（舍去），或a1=-1；
由an-an-1=-1，得{an}是等差数列，通项an=-n．
（3）由（2）的条件知，数列{an}的通项公式不止一个，
例如由an+an-1=0，且a1=-1，可得an=（-1）n（n为奇数时）；
所以，数列{an}不是惟一确定的．