Question

函数f（x）=-x（x-a）²（x∈R），
（1）当a＞0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）当a＞3时，求对于任意实数k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）恒成立的x取值范围．

Answer

（1）由f（x）=-x（x-a）2，知f'（x）=-3x2+4ax-a2，令f'（x）=0，解得或x=a．列表讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）由a＞3，得，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．由f（x）在（-∞，1]上是减函数，知要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），只要cos2x-cosx≤k2-k对一切k∈[-1，0]恒成立．由此能求出使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）恒成立的x取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x，
∴f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a），
令f'（x）=0，
解得或x=a．…（3分）
∵a＞0，∴当x变化时，f'（x）的正负如下表：

x a （a，+∞）
f'（x） - + -

…（6分）
因此，函数f（x）在处取得极小值，且；
函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．…（8分）
（2）由a＞3，得，
当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．
由（1）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，
要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），
只要k-cosx≤k2-cos2x（x∈R），
即cos2x-cosx≤k2-k对一切k∈[-1，0]恒成立．
令g（k）=k2-k，当k∈[-1，0]，
g（k）min=0，
∴cos2x-cosx≤0，解得0≤cosx≤1，
即…（12分）