已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab...

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若 manfen5.com 满分网

，求证数列{u_n}是等差数列，并求{u_n}的通项公式．

（1）赋值法，令a=b=0和令a=b=1，可分别求出f（0）、f（1）（2）构造f（-x）和f（x）之间的关系式，看符合奇函数还是偶函数，先赋值求出f（-1），再令a=-1，b=x即可（3）利用定义法证明{un}是等差数列，求出通项公式【解析】（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），则f（1）=0．（2）∵f（1）=f[（-1）2]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．令a=-1，b=x，则f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），因此f（x）是奇函数．（3）因为=un+1，即un+1-un=1，所以{un}是等差数列．又首项，公差为1，所以an=n，．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等