Question

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer

（1）利用赋值法证明f（0）=1，因为f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，利用赋值法，只需令m=x＜0，n=-x＞0，即可证明当x＜0时，有f（x）＞1．
（2）利用函数单调性的定义判断，只需设R上x1，x2，且x1＜x2，再作差比较f（x2）与f（x1）的大小即可．
（3）先判断集合A，B分别表示什么集合，两个集合都是点集，A表示圆心在（0，0），半径是1的圆的内部，B表示直线ax-y+2=0，因为A∩B=∅，所以直线与圆内部没有交点，直线与圆相离或相切，再据此求出参数的范围．
【解析】
（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），
且由x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）＞0∴f（0）=1；
设m=x＜0，n=-x＞0，∴f（0）=f（x）f（-x），∴f（x）=
∵-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，∴＞1．
即当x＜0时，有f（x）＞1．
（2）设x1＜x2，则x2-x1＞0，∴0＜f（x2-x1）＜1，
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）
=f（x2-x1）f（x1）-f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]＜0，
 当m=n时，f（2n）=f（n）f（n）=f（n）2≥0，
所以当x∈R，f（x）≥0，所以f（x1）≥0，
所以f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2＞f（x1），
∴f（x）在R上单调递减．
（3）∵f（x2）f（y2）＞f（1），
∴f（x2+y2）＞f（1），由f（x）单调性知x2+y2＜1，
又f（ax-y+2）=1=f（0），
∴ax-y+2=0，
又A∩B=∅，∴，
∴a2+1≤4，从而．