Question

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）．
（1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数；
（2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（，0）成中心对称图形．

Answer

（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性的步骤，第一步，设所给区间上任意两个自变量x1，x2，且x1＜x2，第二步，作差比较F（x1）与F（x2）的大小，第三步，得出结论，本题严格按照步骤去做，比较F（x1）与F（x2）时，要借助函数f（x）的单调性．
（2）要证明函数y=F（x）的图象关于点（，0）成中心对称图形，只需证明函数y=F（x）的图象上任意一点关于点
（，0）的对称点在函数y=F（x）的图象上即可，先利用中点坐标公式求出函数y=F（x）的图象上任意一点关于点
（，0）的对称点坐标，再代入函数y=F（x）的解析式，看是否成立即可．
【解析】
（1）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则F（x1）-F（x2）
=f（x1）-f（a-x1）-[f（x2）-f（a-x2）]．
=[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]．
∵x1＜x2，∴-x1＞-x2，∴a-x1＞a-x2，
∵函数f（x）是定义在R上的增函数，∴f（x1）＜f（x2），f（a-x2）＜f（a-x1）．
∴f（x1）-f（x2）＜0，f（a-x2）-f（a-x1）＜0．
∴[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]＜0．
即F（x1）＜F（x2），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）设M（x，y）为函数y=F（x）的图象上任一点，设点M（x，y）关于点（，0）的对称点为N（m，n），
则=，0=，，∴m=a-x，n=-y，
∵把m=a-x代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
得，f（a-x）-f（a-a+x）=f（a-x）-f（x）=-y=n
即点N（m，n）在函数F（x）的图象上．
∴函数y=F（x）的图象关于点（，0）成中心对称图形．