设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f...

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．
（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

（I）利用条件先求出函数的周期，再求出f（-3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（-3）≠-f（3）根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；（2II）根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解．【解析】由⇒⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10），又f（3）=0，而f（7）≠0，⇒f（-3）=f（7）≠0⇒f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）故函数y=f（x）是非奇非偶函数；（II）由⇒⇒f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10）又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0 因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[-2005.0]上有400个解，所以函数y=f（x）在[-2005，2005]上有802个解．

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考点分析：

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已知函数f（x）对于x＞0有意义，且满足条件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是非减函数．
（1）证明f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-2）≥2成立，求x的取值范围．

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已知函数函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（1）求f（0）的值
（2）证明函数f（x）是周期函数
（3）若f（x）=x（0＜x≤1），求x∈R时，函数f（x）的解析式，并画出满足条件的函数f（x）至少一个周期的图象．

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已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）．
（1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数；
（2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（ manfen5.com 满分网

，0）成中心对称图形．

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设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．

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函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（ manfen5.com 满分网

）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等