是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f...

是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x∈N；②f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N；③f（2）=4．同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由．

由题设f（a+b）=f（a）•f（b）且f（x）＞0对x∈N成立，联想到指数函数f（x）=cx，再结合f（2）=4可得c=2．故猜测存在函数数f（x）=2x，最后采用数学归纳法加以证明．【解析】 ∵f（x）＞0，x∈N且f（a+b）=f（a）•f（b），a，b∈N ∴可设f（x）=cx（c＞0，c≠1，x∈N），满足cx＞0且ca+b=ca•cb ∵f（2）=4 ∴c2=4⇒c=2（舍负）所以存在f（x）=2x，符合题设的三个条件．以下用数学归纳法证明，对任意的x∈N时，都有f（x）=2x成立．（1）当x=1时，f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=[f（1）]2=4，又∵x∈N时，f（x）＞0， ∴f（1）=2=21，结论正确．（2）假设x=k（k∈N*）时，有f（k）=2k，则x=k+1时，f（k+1）=f（k）•f（1）=2k•2=2k+1， ∴x=k+1时，结论正确．综上所述，对于一切自然数x，都有f（x）=2x成立．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

设函数f（x）的定义域是（-∞，+∞），满足条件：存在x₁≠x₂，使得f（x₁）≠f（x₂），对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立．求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负．

查看答案

已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x+y）+2=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5，求不等式f（a²-2a-2）＜3的解．

查看答案

已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2，求f（x）在区间[-2，1]上的值域．

查看答案

设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．
（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[-2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．

查看答案

已知函数f（x）对于x＞0有意义，且满足条件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是非减函数．
（1）证明f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-2）≥2成立，求x的取值范围．

查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等