Question

己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：
①当x₁，x₂是定义域中的数时，有f（x₁-x₂）=；
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）试证明函数f（x）是奇函数．
（2）试证明f（x）在（0，4a）上是增函数．

Answer

（1）利用奇函数的定义，考察f（-x）=-f（x）在定义域内恒成立，则为奇函数；
（2）利用增函数的定义，证明对于（0，4a）内任意的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）即可．
【解析】
（1）∵f（x）的定义域关于原点对称，x1，x2是定义域中的数时，
有f（x1-x2）=；
且x1-x2，-（x1-x2）在定义域中，
∴f[-（x1-x2）]=f（x2-x1）==-=-f（x1-x2）；
∴f[-（x1-x2）]=-f（x1-x2）
⇒f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．
（2）设0＜x1＜x2＜2a，则0＜x2-x1＜2a，
∵在（0，2a）上，f（x）＜0，
∴f（x1），f（x2），f（x2-x1）均小于零，
进而知f（x2-x1）=中，f（x1）-f（x2）＜0，
于是f（x1）＜f（x2），
∴在（0，2a）上，f（x）是增函数．
又f（a）=f（2a-a）=，
∵f（a）=-1，∴-1=，
∴f（2a）=0，设2a＜x＜4a，则0＜x-2a＜2a，
f（x-2a）==＜0，于是f（x）＞0，
即在（2a，4a）上，f（x）＞0．
设2a＜x1＜x2＜4a，则0＜x2-x1＜2a，
从而知f（x1），f（x2）均大于零，f（x2-x1）＜0，
∵f（x2-x1）=，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即
f（x1）＜f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数．
综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数．