Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx，x∈R的图象与x轴相切于非原点的一点，且函数的极小值为-4．
（1）求b，c的值；
（2）对a＜0，记F（a）为f（x）在[a，0]上的最小值，若F（a）≤λa恒成立，试求实数λ的取值范围；
（3）求证：当-1＜x＜0时，f（x）＜4sinx．

Answer

（1）根据f（x）=x3+bx2+cx的图象与x轴相切于非原点的一点，可以判断c≠0．且当x小于0时有一个极值为0，结合图象可得方程x2+bx+c=0有且仅有一个根，且在这个根处导数等于0，据此可求出b，c的值．
（2）先求函数的导数，令导数等于0，求出极值点，再按a的取值讨论求出函数在[a，0]上的最小值，代入F（a）≤λa，求λ的取值范围．
（3）由（2）知，当-1＜x＜0，f（x）＜4x恒成立，所以可用放缩法，证明4x＜4sinx即可，再转换为判断函数y=4x-4sinx与0的大小比较，借助导数求出．
【解析】
（1）依题意，函数f（x）的图象如图所示，
f'（x）=3x2+2bx+c∵原点不是切点，∴c≠0．
记切点横坐标为x（x＜0）
又f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）
则方程x2+bx+c=0有且仅有一个根x=x∴△=b2-4c=0，即．①
∴
则∴，即5b2-36bc+432=0．②
由①②，解得b=6，c=9
（2）f（x）=x3+6x2+9x，由f（x）=-4得x=-4或-1．∴当a＜-4时，f（x）在[a，0]上的最小值F（a）=f（a）=a3+6a2+9a
当-4≤a≤1时，f（x）在[a，0]上的最小值F（a）=f（-1）=-4
当1＜a＜0时，f（x）在[a，0]上的最小值F（a）=f（a）=a3+6a2+9a
要使F（a）≤λa恒成立，只需恒成立，∴当a＜-4时，，则λ≤1
当1＜a＜0时，则λ≤4
当-4≤a≤-1时，，则λ≤1
综上所述，λ≤1
（3）由（2）知，当-1＜x＜0，f（x）＜4x恒成立
（或利用f（x）-4x=x3+6x2+5x=x（x+1）（x+5）＜0在-1＜x＜0，恒成立）
记g（x）=x-sinx（-1＜x＜0），
则g'（x）=1-cosx＞0．∴g（x）在（-1，0）上单调递增，g（x）＜g（0）=0．
∴x＜sinx在-1＜x＜0恒成立，∴-1＜x＜0时，在f（x）≤4x＜4sinx，得证