Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足，且对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，试求{c_n}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．
（3）若数列{d_n}满足，求证：当n≥2时，．

Answer

（1）由已知，对任意m，n∈N*，有am+n=am•an，bm+n=bm+bn，取m=1，可得数列{an}，{bn}分别为等比，等差数列，即可求出它们的通项公式；
（2）根据bn求出cn的通项公式，然后可判定数列{cn}为递减数列，cn的最大值为c1，故存在M=1，使得对任意n∈N*，cn≤c1恒成立；
（3）先求出dn的通项公式，然后求出，而当n≥2时，，从而证得结论．
【解析】
（1）由已知，对任意m，n∈N*，
有am+n=am•an，bm+n=bm+bn．
取m=1，得．
所以数列{an}，{bn}分别为等比，等差数列．
∴     …（4分）
（2）由，
得．
∵．
∴数列{cn}为递减数列，cn的最大值为c1．
故存在M=1，使得对任意n∈N*，cn≤c1恒成立…（8分）
（3）∵-
∴
=
而当n≥2时，
∴…（13分）