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在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥面ABC,,A1C=CA=A...

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1⊥面ABC,manfen5.com 满分网,A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D为AA1中点.
(1)求证:CD⊥面ABB1A1
(2)在侧棱BB1上确定一点E,使得二面角E-A1C1-A的大小为manfen5.com 满分网

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(1)由已知中侧面ACC1A1⊥面ABC,AB⊥AC,由面面垂直的性质定理可得AB⊥面ACC1A1,进而AB⊥CD,由AC=A1C,D为AA1中点,根据等腰三角形“三线合一”可得CD⊥AA1,结合线面垂直的判定定理可得CD⊥面ABB1A1; (2)建立空间直角坐标系C-xyz,由,可得E点坐标为((1-λ)a,a,λa).求出面A1C1A地一个法向量和平面EA1C1地一个法向量,根据二面角E-A1C1-A的大小为,构造方程组,解出λ值后,可得E点的位置. 证明:(1)∵AB⊥AC,面ACC1A1⊥面ABC,∴AB⊥面ACC1A1,即有AB⊥CD; 又AC=A1C,D为AA1中点,则CD⊥AA1∴CD⊥面ABB1A1…(4分) 【解析】 (2)如图所示建立空间直角坐标系C-xyz,则有A(a,0,0),B(a,a,0),A1(0,0,a),B1(0,a,a)C1(-a,0,a),设E(x,y,z),且,即有(x-a,y-a,z)=λ(-a,0,a), 所以E点坐标为((1-λ)a,a,λa).…(7分) 由条件易得面A1C1A地一个法向量为,设平面EA1C1地一个法向量为,由可得 令y=1,则有,…(10分) 则,得 所以,当时,二面角E-A1C1-A的大小为…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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