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已知函数f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x. (1)求函...

已知函数f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x
(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域;
(2)是否存在实数a,对任意给定的x∈(0,e],在区间[1,e]上都存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x)成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)给出如下定义:对于函数y=F(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果对于函数y=F(x)图象上的点M(x,y)(其中manfen5.com 满分网总能使得F(x1)-F(x2)=F'(x)(x1-x2)成立,则称函数具备性质“L”,试判断函数f(x)是不是具备性质“L”,并说明理由.
(1)先求导函数g'(x)=e1-x1xe1-x=ex-1(1-x),从而可知函数在区间(0,1]上单调递增,在区间[1,e)上单调递减,因此可求函数的值域. (2)令m=g(x),则由(1)可得m∈(0,1],原问题等价于:对任意的m∈(0,1],f(x)=m在[1,e]上总有两个不同的实根,故f(x)在[1,e]不可能是单调函数,从而可得,又可得,矛盾,因此满足条件的a不存在 (3)设函数f(x)具备性质“L”,即在点M处地切线斜率等于kAB,不妨设0<x1<x2,易得即,令,则有,令F(t)=,则由可得F(t)在(0,1)上单调递增,故F(t)<F(1)=0,从而方程无解,故可得证. 【解析】 (1)∵g'(x)=e1-x1xe1-x=ex-1(1-x)在区间(0,1]上单调递增,在区间[1,e)上单调递减,且g(0)=0,g(1)=1>g(e)=e2-e函数g(x)在区间(0,e]上的值域为(0,1]….(3分) (2)令m=g(x),则由(1)可得m∈(0,1],原问题等价于:对任意的m∈(0,1]f(x)=m在[1,e]上总有两个不同的实根,故f(x)在[1,e]不可能是单调函数                              …(5分)∵ 当a≤0时,,在区间[1,e]上递减,不合题意 当a≥1时,f'(x)>0,在区间[1,e]上单调递增,不合题意 当时,f'(x)<0,在区间[1,e]上单调递减,不合题意 当即时,在区间上单调递减;在区间上单递增, 由上可得,此时必有f(x)的最小值小于等于0且f(x)的最大值大于等于1,而由可得,则a∈Φ 综上,满足条件的a不存在.…..(8分) (3)设函数f(x)具备性质“L”,即在点M处地切线斜率等于kAB,不妨设0<x1<x2,则,而f(x)在点M处的切线斜率为,故有…..(10分) 即,令,则上式化为, 令F(t)=,则由可得F(t)在(0,1)上单调递增,故F(t)<F(1)=0,即方程无解,所以函数f(x)不具备性质“L”.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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