Question

已知函数f（x）=x²-2lnx
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=x²-2x+2a的区间上有两个相异实根，求实数a的取值范围（e是自然对数的底数）．

Answer

（I）由f′（x）=2x-2x，x＞0，知当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递增．由此能求出函数f（x）的单调区间．
（II）方程x2-2lnx=x2-2x+2a化为x-lnx-a=0，令g（x）=x-lnx-a，由g（x）的单调性，结合在[1，e]上单调递增f（x）=x2-2x+2a在上有两个相异实根，由此能列出关于a的不等关系求出实数a的取值范围．
【解析】
（I）定义域为
∴x＞1时，f'（x）＞0；0＜x＜1时，f'（x）＜0
故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）
（Ⅱ）x2-2lnx=x2-2x+2a即：x-lnx-a=0令g（x）=x-lnx-a，

所以
∴g（x）在单调递减，
在[1，e]上单调递增f（x）=x2-2x+2a在上有两个相异实根