Question

已知数列{a_n}满足
（I）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记，若对于任意正整数n都有成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（I）直接利用递推公式，令n=1，n=2计算
（Ⅱ）原式两边取倒数，，再取对数，构造出．据此求{an}的通项公式；
（Ⅲ），分离常数，变为λ＞y 恒成立的形式，故λ大于y的最大值，利用y 的单调性确定它的最大值．
【解析】
（I）
（Ⅱ）原式两边取倒数，则
上式两边取对数，则
解得
（Ⅲ）
由题中不等式解得，对于任意正整数均成立
注意到，构造函数
则设函数
由g'（x）=sinx-1＜0对成立，得g（x）=1-cosx-x为上的减函数，
所以g（x）max＜g（0）=0即f'（x）＜0对成立，因此f（x）为上的减函数，
即f（x）max＜f（0）=0，故λ≥0