Question

（理科）（ax+1）⁵（x+1）²展开式中x²系数为21，则a=    ．

Answer

先将问题转化为二项式（ax+1）5的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数分别等于1，2，0求出特定项的系数，根据已知列出关于a的方程，求出a的值．
【解析】
（ax+1）5（x+1）2=（ax+1）5（x2+2x+1）
所以展开式中x2的系数等于（ax+1）5展开式的x的系数的2倍加上（ax+1）5展开式的x2的系数加上（ax+1）5的常数项
因为（ax+1）5展开式的通项为Tr+1=a5-rC5rx5-r
令5-r=1，得r=4故（ax+1）5展开式的x的系数为5a
令5-r=2得r=3故（ax+1）5展开式的x2的系数为10a2，
5-r=0得r=5故（ax+1）5展开式的常数项为1
故展开式中x2的系数是10a+10a2+1=21
解得a=1或a=-2
故答案为：a=1或a=-2